9 декабря Ответы городской Муниципальный этап Математика Татарстан 16 регион
Добавлено: 08 дек 2025, 15:06
Разбор заданий: ответы к Олимпиаде ВСОШ по Математике 7 8 9 10 11 класс, муниципальный этап для Республики Татарстан 16 регион на 09.12.2025 г. Включает в себя авторский разбор вопросов для 7 8 9 10 11 класса. Материалы являются официальными взяты и опубликованы в ознакомительных целях
Скачать можно - https://t.me/addlist/eA4XGqhmB2IwNDk6
Скачать можно - https://t.me/addlist/eA4XGqhmB2IwNDk6
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 9 класс
Задание 1.2. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1500 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 3000 рублей и 1/10 остатка, третий — 4500 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 500 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 1000 рублей и 1/10 остатка, третий — 1500 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1000 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 2000 рублей и 1/10 остатка, третий — 3000 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 20, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 20, и у игрока есть еще 35 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. По кругу стоят 16 мальчиков и 25 девочек. Известно, что ровно у 20 человек оба соседа — девочки.
У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. По кругу стоят 16 мальчиков и 25 девочек. Известно, что ровно у 21 человек оба соседа — девочки.
У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 3.4. По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 20 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.2. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=15, AB=21.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.3. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=20, AB=28.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.4. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=10, AB=14.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.2. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 44-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 28-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.3. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 37-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 24-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.4. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 64-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 38-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 6.2. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 343 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.3. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 321 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.4. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 365 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 11×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 11×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 15×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 15×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 15×10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 15×10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=15.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=9.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=5.
→ Раскрыть ответ
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 10 класс
Задание 1.1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.2. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 2450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 882.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых n членов равна 2178.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n > 1.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.1. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2028
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2022
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2026 )
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2024 )
→ Раскрыть ответ
Задание 3.1. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 20, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 80.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 36, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 108.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 48, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 124.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.4. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 22, AD = 12 а периметр треугольника ABC равен 56.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.1. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.2. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.3. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 5.1. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 8, BC = 10, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.2. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 7, CD = 5.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.3. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 6, BC = 9, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.4. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 6, CD = 4.
→ Раскрыть ответ
Задание 6.1. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 11 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.2. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 13 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.3. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.4. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 12 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.1. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 39? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 39? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.3. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 51? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 51? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.4. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 57? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 57? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 8.1. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x201^3)/(1 — 3×201 + 3×201^2),
если для всех i от 1 до 201 выполнено, что xi = i/201.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.2. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x101^3)/(1 — 3×101 + 3×101^2),
если для всех i от 1 до 101 выполнено, что xi = i/101.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.3. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x301^3)/(1 — 3×301 + 3×301^2),
если для всех i от 1 до 301 выполнено, что xi = i/301.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.4. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x401^3)/(1 — 3×401 + 3×401^2),
если для всех i от 0 до 401 выполнено, что xi = i/401.
→ Раскрыть ответ
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 11 класс
Задание 1.1. Найдите натуральное x такое, что xx=2211x.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.2. Найдите натуральное x такое, что xx=334.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Найдите натуральное x такое, что xx=228.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Найдите натуральное x такое, что xx=2211.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.1. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=16, BC=15 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=12, BC=8 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=18, BC=12 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.1. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна 1/1300). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d будет равен 1825.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1600 (вероятность выбрать каждое равна 1/1600). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d будет равен 1825.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5).
Скачать можно - https://t.me/addlist/eA4XGqhmB2IwNDk6
Скачать можно - https://t.me/addlist/eA4XGqhmB2IwNDk6
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 9 класс
Задание 1.2. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1500 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 3000 рублей и 1/10 остатка, третий — 4500 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 500 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 1000 рублей и 1/10 остатка, третий — 1500 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Акционеры по очереди делят доходы компании. Первый акционер получил 1000 рублей и 1/10 оставшихся доходов, второй — 2000 рублей и 1/10 остатка, третий — 3000 рублей и 1/10 остатка и так далее. Оказалось, что все акционеры поделили доходы поровну.
Сколько рублей получил каждый акционер?
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 20, и у игрока есть еще 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 20, и у игрока есть еще 35 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила × ловкость + ловкость × интеллект + интеллект × харизма + харизма × сила
а) (3 балла) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа. Число
б) (4 балла) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа. Число
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. По кругу стоят 16 мальчиков и 25 девочек. Известно, что ровно у 20 человек оба соседа — девочки.
У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. По кругу стоят 16 мальчиков и 25 девочек. Известно, что ровно у 21 человек оба соседа — девочки.
У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 3.4. По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 20 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.2. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=15, AB=21.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.3. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=20, AB=28.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.4. На диагонали AC и стороне CD квадрата ABCD выбрали точки M и N соответственно так, что MN=MD.
Найдите, чему равна длина отрезка CN, если MN=10, AB=14.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.2. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 44-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 28-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.3. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 37-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 24-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.4. Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 64-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 38-го.
Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
→ Раскрыть ответ
Задание 6.2. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 343 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.3. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 321 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.4. Леша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 365 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) (2 балла) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) (5 баллов) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 11×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 11×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 15×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 15×14 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. а) (2 балла) Клетки таблицы 15×10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом квадрате 2×2 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
б) (5 баллов) Клетки таблицы 15×10 раскрасили в 3 цвета так, что в каждом прямоугольнике 1×4 и 4×1 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток первого цвета может быть?
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=15.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=9.
→ Раскрыть ответ
Задание 8. Два равных прямоугольника ABCX и DEFX расположены так, как на рисунке.
Найдите расстояние от середины отрезка AFAF до центра описанной окружности треугольника XCD, если известно, что CD=5.
→ Раскрыть ответ
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 10 класс
Задание 1.1. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.2. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 2450.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых nn членов равна 882.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n>1.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел, содержит 2n членов. Известно, что разность суммы последних n и суммы первых n членов равна 2178.
Укажите все возможные значения n, если известно, что n > 1.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.1. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2028
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
⋯ ((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ ⋯) ⋆ 2022
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2026 )
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. На множестве целых чисел ввели две операции:
a ⋆ b = b^2 — a^2,
a ⋄ b = a — b + 3.
Найдите значение выражения
( ⋯ (((((1 ⋆ 2) ⋄ 3) ⋆ 4) ⋄ 5) ⋆ … ) ⋆ 2024 )
→ Раскрыть ответ
Задание 3.1. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 20, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 80.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 36, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 108.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 48, AD = 28 а периметр треугольника ABC равен 124.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.4. В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z.
Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC = 22, AD = 12 а периметр треугольника ABC равен 56.
→ Раскрыть ответ
Задание 4.1. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.2. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.3. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 4.4. Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 82% учеников знает C++ и 59% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
(3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a?
(4 балла) Чему равно наименьшее возможное значение a?
→ Раскрыть ответ
Задание 5.1. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 8, BC = 10, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.2. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 7, CD = 5.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.3. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 6, BC = 9, CD = 3.
→ Раскрыть ответ
Задание 5.4. Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что
AX = CD и ∠BXD = ∠CDA.
Найдите BX, если известно, что
AB = 10, BC = 6, CD = 4.
→ Раскрыть ответ
Задание 6.1. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 11 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.2. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 13 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.3. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 6.4. При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 12 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
→ Раскрыть ответ
Задание 7.1. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.2. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 39? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 39? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.3. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 51? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 51? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 7.4. У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером n и ставит её непосредственно справа от книги с номером m, где m — наибольший собственный делитель n. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
(2 балла) Чему равен номер книги справа от книги с номером 57? [Число]
(5 баллов) Чему равен номер книги слева от книги с номером 57? [Число]
→ Раскрыть ответ
Задание 8.1. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x201^3)/(1 — 3×201 + 3×201^2),
если для всех i от 1 до 201 выполнено, что xi = i/201.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.2. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x101^3)/(1 — 3×101 + 3×101^2),
если для всех i от 1 до 101 выполнено, что xi = i/101.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.3. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x301^3)/(1 — 3×301 + 3×301^2),
если для всех i от 1 до 301 выполнено, что xi = i/301.
→ Раскрыть ответ
Задание 8.4. Вычислите сумму
(x1^3)/(1 — 3×1 + 3×1^2) + (x2^3)/(1 — 3×2 + 3×2^2) + … + (x401^3)/(1 — 3×401 + 3×401^2),
если для всех i от 0 до 401 выполнено, что xi = i/401.
→ Раскрыть ответ
Муниципальный этап ВСОШ по Математике 11 класс
Задание 1.1. Найдите натуральное x такое, что xx=2211x.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.2. Найдите натуральное x такое, что xx=334.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.3. Найдите натуральное x такое, что xx=228.
→ Раскрыть ответ
Задание 1.4. Найдите натуральное x такое, что xx=2211.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.1. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.2. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=16, BC=15 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.3. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=12, BC=8 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 2.4. В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=18, BC=12 отметили точку M – середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP.
Найдите площадь четырехугольника ABPD.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.1. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна 1/1300). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d будет равен 1825.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.2. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1600 (вероятность выбрать каждое равна 1/1600). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d будет равен 1825.
→ Раскрыть ответ
Задание 3.3. Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна 1/5).